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GMAT数学二次方程知识点

2018-11-12 17:38:26来源:网络

  新东方在线GMAT频道为大家带来GMAT数学二次方程知识点,希望对大家GMAT备考有所帮助。更多精彩尽请关注新东方在线GMAT频道!

  一、知识要点:

  1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。

  定理1 ax^2+bx+c=0(a≠0)中,Δ>0方程有两个不等实数根

  定理2 ax^2+bx+c=0(a≠0)中,Δ=0方程有两个相等实数根

  定理3 ax^2+bx+c=0(a≠0)中,Δ<0方程没有实数根

  2、根的判别式逆用(注意:根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。

  定理4 ax^2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个不等实数根Δ>0

  定理5 ax^2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个相等实数根Δ=0

  定理6 ax^2+bx+c=0(a≠0)中,方程没有实数根Δ<0

  注意:(1)再次强调:根的判别式是指Δ=b2-4ac。(2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件a≠0

  二.根的判别式有以下应用:

  不解一元二次方程,判断根的情况。

  例1. 不解方程,判断下列方程的根的情况:

  (2)ax^2+bx=0(a≠0)

  解:

  (2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程,此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程,将常数项视为零,

  ∵Δ=(-b)2-4·a·

  ∵无论b取任何关数,b2均为非负数,

  ∴Δ≥0,故方程有两个实数根。

  根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。

  例2.k的何值时?关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根;

  分析:由判别式定理的逆定理可知(1)Δ>0;(2)Δ=0;(3)Δ<0;

  解:Δ=(-4)2-4·

  (1)∵方程有两个不相等的实数根,

  ∴Δ>0,即36-4k>0.解得k<

  (2)∵[!--empirenews.page--]方程有两个不相等的实数根,

  ∴Δ=0,即36-4k=0.解得

  (3)∵方程有两个不相等的实数根,

  ∴Δ<0,即36-4k<0.解得

  证明字母系数方程有实数根或无实数根。

  例3.求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。

  分析:先求出关于x的方程的根的判别式,然后只需说明判别式是一个负数,就证明了该方程没有实数根。

  证明:Δ=-4(m2+2)2

  ∵不论m取任何实数

  ∴ -4(m2+2)2<0, 即Δ

  ∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。

  小结:由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤:

  (1)计算Δ

  (2)用配方法将Δ恒等变形

  (3)判断Δ的符号

  (4)结论.其中难点是Δ的恒等变形,一般情况下配方后变形后为形如:a2,a2+2,(a2+2)2, -a2, -(a2+2)2的代数式,从而判定正负,非负等情况。

  应用根的判别式判断三角形的形状。

  例4.已知:a、b、c为ΔABC的三边,当m>0时,关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2[!--empirenews.page--]ax=0有两个相等的实数根。求证ΔABC为RtΔ。

  (提示:答案为ΔABC为RtΔ)

  判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式

  例5、(1)若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是

  (2)若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是

  分析:可以令二次三项等于0,若二次三项是完全平方式,则方程有两个相等的实数根。即Δ

  解:(1)

  ∵方程有两个相等的实数根,

  ∴Δ=k2-4×16×

  ∴k=+40或者

  (2)

  ∵方程有两个相等的实数根,∴Δ=16-4k=0 ∴

  可以判断抛物线与直线有无公共点

  例6:当m取什么值时,抛物线与直线y=x+2m只有一个公共点?

  解:列方程组消去y并整理得

  ,∵抛物线与直线只有一个交点,

  ∴Δ=0,即 4m+5=0 ∴

  说明:直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。

  可以判断抛物线与x轴有几个交点

  分析:抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点 (1)当y=0时,即有ax2+bx+c=0,要求x的值,需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可见,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况确定的,而决定一元二次方程ax[!--empirenews.page--]2+bx+c=0的根的情况的,是它的判别式的符号,因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形:

  当时,抛物线与x轴有两个交点,若此时一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2,则抛物线与x轴的两个交点坐标为(x1,0)(x2,0)。

  当时,抛物线与x轴有唯一交点,此时的交点就是抛物线的顶点,其坐标是。

  当 时,抛物线与x轴没有交点。

  例7、判定下列抛物线与x轴交点的个数:

  (1) (2) (3)

  解:(1)Δ=16-12=4>0 ∴抛物线与x轴有两个交点。

  (2)Δ=36-36=0 ∴抛物线与x轴只有一个公共点。

  (3)Δ=4-16=-12<0 ∴抛物线与x轴无公共点。

  例8、已知抛物线

  (1)当m取什么值时,抛物线和x轴有两个公共点?

  (2)当m取什么值时,抛物线和x轴只有一个公共点?并求出这个公共点的坐标。

  (3)当[!--empirenews.page--]m取什么值时,抛物线和x轴没有公共点?

  解:令y=0,则 Δ=

  (1)∵抛物线与x轴有两个公共点, ∴Δ>0,即 – 4m+8>0 ∴

  (2)∵抛物线和x轴只有一个公共点, ∴Δ=0,即 –4m+8=0 ∴

  当m=2时,方程可化为,解得x1=x2= -1,∴抛物线与x轴公共点坐标为(-1,0)。

  (3)∵抛物线与x轴没有公共点, ∴Δ<0,即 -4m+8<0, ∴

  ∴当m>2时,抛物线与x轴没有公共点。

  利用根的判别式解有关抛物线(Δ>0)与x轴两交点间的距离的问题

  分析:抛物线 (Δ>0)与x轴两交点间的距离,是对应的一元二次方程 [!--empirenews.page--]的两根差的绝对值。它有以下表示方法:

  例9: 求当a为何值时?二次函数 图象与x轴的两个交点间的距离是3。

  (参考:图象与x轴两个交点间的距离是3)

  以上就为大家整理的“GMAT数学二次方程知识点”,更多精彩内容,请关注新东方在线GMAT频道。


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