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GMAT数学知识点实例解析:奇偶性

2019-04-15 11:32:53来源:广州新东方 黄楠

  作为中国考生,本应对数学考试十分自信,但有不少学员反馈,在日常复习和模拟考试的过程中,结果并不太满意,不要说满分,拿高分也不是容易的事。原因是GRE的容错率低,GMAT的出题非常巧妙。

来源:广州新东方 黄楠

  我们先来看第一个常见知识点,奇偶性的考察。首先看一道题目:

  If x and y are integers and x²y is a positive odd integer, which of the following must be true?

  Ⅰ. xy is positive.

  Ⅱ. xy is odd.

  Ⅲ. x + y is even.

  (A) Ⅰ only

  (B) Ⅱ only

  (C) Ⅲ only

  (D) Ⅰ and Ⅱ

  (E) Ⅱ and Ⅲ

  同学们算出答案了吗?

  在解释之前我们先明确 [数字奇偶性]的定义和他们的通项表达式:

  偶数: 能够被2整除的整数。

  奇数: 不能被2整除的整数。

  注意: 奇数和偶数都是交错出现的整数,0是一个特殊的偶数。它既是正偶数与负偶数的分界线,又是正奇数与负奇数的分界线。

  在这个基础上,我们再复习下数字计算的奇偶性:

  加法的推导如下:

  总结如下:凡是同性数字相加,和都是偶数;异性数字相加,和都是奇数。

  乘法的推到如下:

  总结如下:凡是有偶数参与的乘法运算,积都是偶数;凡是有奇数参与的乘法运算,积都是奇数。

  接下来我们看看题目解析:

  我们把x²和y看作两个整数,他们的乘积为奇数,根据上面的乘法法则,推出这两个数字都是奇数。

  若x²是奇数,再次根据乘法法则,说明x也是奇数(只有两个奇数相乘,才为奇数)

  综上,y=positive odd integer; x=odd integer, 由此可得E为正确选项。

  接着,我们来看第二个知识点[质因数]prime factor。

  同样,先来做一道题目:

  If x is the product of the positive integers from 1 to 8, inclusive, and if i, k, m, and p are positive integers such that , then i + k + m + p =

  A. 4

  B. 7

  C. 8

  D. 11

  E. 12

  什么是[质因数]prime factor?

  定义:一个整数的质数因数,即为质因数。

  那么,我们又先复习 [质数]prime number的概念:

  只能被1和它本身整除的数,叫做质数。

  注意:

  1不是质数(不能分解成1和它本身),最小质数是2,并且2是唯一的偶数质数。

  大于1的任意自然数,要么本身是质数,要么可以分解为几个质数之积(分解质因数),且这种分解是唯一的。(初等数学基本定理)

  熟悉30以内的质数:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29。

  合数(composite number):除了1和本身以外,还能被其他整数整除的数字。

  注意:

  最小合数是4。

  所有大于2的偶数都是合数。

  奇数也可以是合数(9,15)

  综上,我们发现一个结论,数字的奇偶性与质数/合数没有任何关系。即一个奇数,既可以是质数,也可以是合数,偶数亦然。

  所以这道题目的解释是:8的阶乘分阶质因数即可。

  最后我们来看一道这两个知识点的综合题目:

  If n and k are integers whose product is 400, which of the following statements must be true?

  A. n + k > 0

  B. n is not equal to k.

  C. Either n or k is a multiple of 10.

  D. If n is even, then k is odd.

  E. If n is odd, then k is even.

  题目解析:

  我们一个个排除。

  A. 根据负负得正,两个数字都为负数,乘积仍然可以400,故错误。

  B. n=k=20, 成绩仍然为400,故错误。

  C. 如图所示,分解质因数,n=16, k=25, 两个数字都不是10的倍数。故错误。

  D.若n是偶数,我们可以留一个2给后面的k, 导致k也是偶数。故错误。

  E. 只剩下这一个选项了。若n是奇数(n没有2作为因数),2只能留给k,则k一定是偶数。


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